寻“规律”找“模型”——《覆盖问题》的模型建构

石  蕾

（南京市南湖第一小学   210017）

【摘要】随着新课标的实施，感悟数学思想方法作为数学整体目标的有机组成部分被教师们广泛关注，其中数学模型、数学模型方法、模型思想、建立模型等一组相关概念不断提出。渗透数学模型思想可有效提高学生的思维，有助于学生解题能力的提升。

【正文】苏教版教材从四年级开始设置了“找规律”的单元，引导学生探寻现实生活中一些简单的数学规律，并应用规律解决相关的实际问题。小学阶段共有设置了四次“找规律”的内容，间隔规律、搭配和排列规律、周期规律、覆盖规律。四次内容的教学关键点都应围绕“找”展开，找本质→建模型→解决实际问题。以五年级下册《覆盖问题》为例，谈谈如何在教学中渗透模型思想、引导学生解决问题。

一、从生活原型中感知数学模型

【教学片段1】

出示例题（改编例题并赋予情境）

师：同学们，最近老师整理了大家的学籍发现杨同学和姚同学这对同桌出生在1998年相邻的两个月，你们猜猜是哪两个月？

师：谁能说出所有的可能？有多少种可能呢？

根据学生的说法抽象出下列表格

预设：

⑴一一列举：（1、2）；(2、3)；（3、4）；（4、5）；（5、6）；（6、7）；（7、8）；（8、9）；（9、10）；（10、11）；（11、12）；

⑵算式12－1＝11

⑶根据植树问题解决方法解答，也就是第二种算式表达的意思。

用上学期学习的一一列举得到答案的。

师：他们俩到底的哪两个月出生的呢？（提供身份证信息）

2、质疑冲突

师：我们班级有相邻两个月的，还有一对同学是相邻两天的？可能会是哪两个天呢？

这张表格有什么变化？

出示：

师：你算出来了吗？有困难吗？在较短时间内得不出正确答案，你有什么好办法吗？

这里面肯定有规律，对吗？难的不会，想简单的。从中找一找规律。

如何使学生通过建模形成数学模型，其中一条很重要的方法就是从生活原型中抽象出数学问题，感知数学模型的存在找出数学模型。从学生熟知的出生年月出发，容易激活学生的生活经验和相关已有知识。学生在学习覆盖问题之前已经有三次找规律相关内容的学习并积累了一些探索规律的方法，同时教材还安排了一些常用策略的学习。因此学生在第一个环节中容易抽象出12个数的表格并用一一列举的策略和间隔规律的类推得出有11种可能。环节二的设置打破了学生原有的认知结构。原有一一列举、间隔排列的方法不再适合解决这样的问题，需要构建一个新的解决问题模型。有了这样的冲突再引导学生回到例题从简单入手，有效的渗透了数学思想，激发学生的思考。

二、从动手探究中建构模型

【教学片段2】

第一次探索，寻找模型的结合点

出示例题的数表1～10

刚才同学们运用一一列举的方法得出了9种不同的和。

我给大家再介绍一种方法：平移方框

如果用一个红框框出1、2两个数，这样就可以得到一个和，下面的操作你会吗？拿出信封袋里的数表和方框，自己动手试试能得到9种不同的和吗？

请学生演示。只要将方框向右平移一格就能得到一个不同的和。

提问：为什么平移了8次却得到9个不同的和？

下面请同学们再次操作，但是要带着问题边操作边讨论。

出示问题：

从哪里开始框数，每次框了几个数？还剩下几个数？

方框依次向右平移了几次？

得到了几种不同的和？

请学生反馈：

请一位同学做小老师带着大家边说边操作。

生：从1、2开始框

师：从最左边框起有什么好处？

生：不会重复，不会遗漏。板书：有序思考

生：每次框了2个数，剩下8个数。

师：怎样得到的？10减2等于8。

生：方框依次向右平移了8次。得到9种不同的和。

师：为什么平移了8次，却得到9种不同的和？

生：有一次没有平移。相加就是9次。

操作：将你们得到的信息填在信封里面的表格中。

第二次探索，丰富模型的生成点

出示题目：如果每次框出3个数，一共可以得到多少个不同的和？

拿出能框3个数的方框，自己动手试一试并和同桌说一说你的操作。

请学生反馈：从1、2、3框起，每次框了3个数，还剩7个数。方框向右平移了7次。

提问：平移了7次，要想到几个不同的和？提问：为什么得到8种不同的和。

将你得到的信息填在表格中。

第三次探索，构建模型的整合点

提问：除了可以框2个数、3个数，还可以框几个？在信封袋中装了能框4个数的方框但是没有准备其它的方框，你能将表格填完整吗？

请学生反馈交流完成表格：

提问：①交流每次框4个数，你得到的信息。

生：每次框4个数，还剩下6个数，平移了6次，得到7种不同的和。

②交流每次框5个数。我们没有5个数的框，请你用眼睛来框一框，第一次框的是1、2、3、4、5还剩几个数？说明能平移几次？那么有几个不同的和？

③交流框6个数。再用眼睛框一框，第一次框了几个数？还剩几个数？说明要平移几次？又有几个不同的和？

课堂小结：

大家都认为这几个条件之间有联系对吗？咱们来理一理。

出示问题：

（1）得到不同和的个数与什么有关系？

看来只要知道平移几次，就可以知道多少种不同的和，怎么得到？为什么加1？

（2）平移的次数又是怎么得到的呢？

如果要你每次框7个数，需要平移几次？怎么得到的？有几种不同的和？

（3）你能用算式表示吗？

回到表格中你能利用这几个条件间的关系列式算出这些和吗

（4）再观察表格你还能观察到什么呢？

预设：观察到框的数越多，平移的次数就越少，和的个数也就越少。

数学建模关注的对象是许多具有共同普遍性的一类事物，因此教师要给予学生丰富的材料，多侧面、多维度、全方位感知这类事物的特征或数量依存关系，为数学模型的准确建构提供可能。在此片断中，共组织三次学生动手探究的活动。1、第一次探索寻找建立模型的结合点

在学生独立尝试平移后，教师通过“从哪里开始框数，每次框了几个数？还剩下几个数？方框依次向右平移了几次？得到了几种不同的和？怎样得到的？10减2等于8。”一系列问题，引导学生将实际的操作用数学语言表达出来，这样的转化就是数学模型的初次建立。

2、第二次探索，丰富模型的生成点

 由于模型生成的需要十分丰富的背景，多次的动手操作较大的自由度更好的照顾了学生的学习兴趣，有利于模型的建构。利用表格将操作活动中相关的数据进行整理，并在书本提供表格的基础上增加一栏总数，这样的改变在学生整合相关数据，理解这些数据间关系中起到辅助引导的作用。第二次的探究活动，使得学生通过多种不同情况：框2个数过渡到框3个数4个数等，不断的猜测、验证逐步感受到此类问题的一般性。学生在探索中充分体验了模型的形成过程。

3、第三次探索，构建模型的整合点

具体生动的情境或问题只是为学生数学模型的建构提供了可能，如果忽视了从具体到抽象的有效组织，那就无法建模。在第三次操作中，教师提出了“请你用眼睛来框一框”的要求。这个要求是符合儿童思维发展的3种水平（操作水平、表象水平、分析水平）对应的3个阶段（动作认知、图形认知、符号认知），从形象的动作认知到抽象符号认知即模型的建立，数学表象的支撑尤为重要。从具体到半抽象到抽象，学生才能从物理模型到直观模型再到抽象模型的数学模型建构过程。如果没有这样的环节，学生建立的模型一定是某一种特定的具体操作，而不具有这一类问题的共性。

4、最后小结中建立解决覆盖问题的模型

 不管是数学概念的建立、数学规律的发现、数学问题的解决，核心问题都在于数学思想方法的运用，它是数学模型的灵魂。在建构覆盖问题 “总数-每次框的个数+1=得到不同和的个数” 的数学模型过程中，要突出与之相伴的数学思想方法：一是归纳，“得到不同和的个数与什么有关系？”二是函数思想，“框的数越多，平移的次数就越少，和的个数也就越少。”在课堂小结中重视数学思想方法的提炼与体验，可以催化数学模型的建构，提升建构的理性高度。

三、从问题解决中拓展模型外延

【教学片段3】练习巩固

练习1：出示课前的1～365的数表

口头说说算式并解答。

练习2：课前了解了同学都会打扑克牌，在扑克牌中也可以找到今天发现的规律。在扑克牌中，同种花色，连续的5张牌我们可以称为同花顺。出示红桃A～K说一说这种花色里一共能组成多少种不同的同花顺呢？

练习3: 同学们排成一排做游戏，一排有18个座位。小芳、小英是孪生姐妹，要让她俩坐在一起，并且小芳在小英的右边。在同一排有多少种不同的坐法？如果她们她们18人围坐在一起，小芳和小英又有多少种不同的做法呢？

从具体的问题经历抽象提炼的过程，初步构建起相应的数学模型，还要组织学生将数学模型运用到可感的数学现实中，使已经建构的数学模型不断扩充和提升。因为建立模型的过程中不可能将所有的同类事物一一列举，这就需要在练习中继续扩展模型的外延。

反思以上的教学实践，小学数学教学中难以有“狭义意义”上的数学建模。然而换种角度来看，立足于“建模”“模型”的数学思想用来指导小学数学教学，有利于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。如何渗透模型数学思想方法，首先取决教师是否有意识的寻找教学内容中隐藏的数学模型；其次要根据具体的内容和具体年级而又不同层次的要求，低年段要恰到好处地结合日常实例和常规教学对学生进行“模型”及“模型意识”的渗透，高年级则可以明确引导学生关注数学学习中“模型”的存在，培养初步的建模能力。